Chapitre 13 - Mécanique céleste et satellites

On considère un satellite P de masse m en mouvement circulaire de rayon r autour du centre O d’un astre de masse M = 2,0 × 10³⁰ kg.
Le schéma ci-contre définit les vecteurs unitaires.
L’étude est faite dans le référentiel astrocentrique, supposé galiléen.

Donnée : G = 6,67 × 10^-11 N·m²·kg^-2

La force gravitationnelle exercée par l’astre sur le satellite est :

$\overrightarrow{F}= - \textit{G}\frac{mM}{r^2}\overrightarrow{u}$

$\overrightarrow{F}= - \textit{G}\frac{mM}{r^2}\overrightarrow{u_n}$

$\overrightarrow{F}= \textit{G}\frac{mM}{r^2}\overrightarrow{u_n}$

On considère un satellite P de masse m en mouvement circulaire de rayon r autour du centre O d’un astre de masse M = 2,0 × 10³⁰ kg.
Le schéma ci-contre définit les vecteurs unitaires.
L’étude est faite dans le référentiel astrocentrique, supposé galiléen.

Donnée : G = 6,67 × 10^-11 N·m²·kg^-2

L’accélération du satellite est :

$\overrightarrow{a} = \textit{G}\frac{M}{r^2}\overrightarrow{u}$

$\overrightarrow{a} = - \textit{G}\frac{M}{r^2}\overrightarrow{u}$

$\overrightarrow{a} = - \textit{G}\frac{M}{r^2}\overrightarrow{u_n}$

On considère un satellite P de masse m en mouvement circulaire de rayon r autour du centre O d’un astre de masse M = 2,0 × 10³⁰ kg.
Le schéma ci-contre définit les vecteurs unitaires.
L’étude est faite dans le référentiel astrocentrique, supposé galiléen.

Donnée : G = 6,67 × 10^-11 N·m²·kg^-2

On note $\overrightarrow{v}$ la vitesse du satellite. Le vecteur accélération $\overrightarrow{a}$ s’écrit aussi :

$\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$

$\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} + \frac{v^2}{r}\overrightarrow{u_n}$

$\overrightarrow{a} = \frac{dv}{dt}\overrightarrow{u_t} + \frac{v^2}{r}\overrightarrow{u_n}$

On considère un satellite P de masse m en mouvement circulaire de rayon r autour du centre O d’un astre de masse M = 2,0 × 10³⁰ kg.
Le schéma ci-contre définit les vecteurs unitaires.
L’étude est faite dans le référentiel astrocentrique, supposé galiléen.

Donnée : G = 6,67 × 10^-11 N·m²·kg^-2

Le mouvement d’un tel satellite est uniforme car :

$\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}= \overrightarrow{0}$

$\frac{dv}{dt}= 0$

$\frac{dv}{dt}\overrightarrow{u_t}= \overrightarrow{0}$

On considère un satellite P de masse m en mouvement circulaire de rayon r autour du centre O d’un astre de masse M = 2,0 × 10³⁰ kg.
Le schéma ci-contre définit les vecteurs unitaires.
L’étude est faite dans le référentiel astrocentrique, supposé galiléen.

Donnée : G = 6,67 × 10^-11 N·m²·kg^-2

Les deux expressions du vecteur accélération $\overrightarrow{a}$ conduisent à l’égalité :

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

$v = \sqrt{\frac{GM}{r^2}}$

$v = \sqrt{G\frac{M}{r}}$

On considère un satellite P de masse m en mouvement circulaire de rayon r autour du centre O d’un astre de masse M = 2,0 × 10³⁰ kg.
Le schéma ci-contre définit les vecteurs unitaires.
L’étude est faite dans le référentiel astrocentrique, supposé galiléen.

Donnée : G = 6,67 × 10^-11 N·m²·kg^-2

Pour r = 778 millions de km, la norme de la vitesse du satellite vaut :

$v= 4,1 × 10^{5} km.s^{-1}$

$v= 13 km.s^{-1}$

$v= 1,3 × 10^{4} m.s^{-1}$

On considère un satellite P de masse m en mouvement circulaire de rayon r autour du centre O d’un astre de masse M = 2,0 × 10³⁰ kg.
Le schéma ci-contre définit les vecteurs unitaires.
L’étude est faite dans le référentiel astrocentrique, supposé galiléen.

Donnée : G = 6,67 × 10^-11 N·m²·kg^-2

La période de révolution de ce satellite est :

$T = 2\pi\frac{r}{v}$

$T = 2\pi\frac{v}{r}$

$T = 2\pi rv$

On considère un satellite P de masse m en mouvement circulaire de rayon r autour du centre O d’un astre de masse M = 2,0 × 10³⁰ kg.
Le schéma ci-contre définit les vecteurs unitaires.
L’étude est faite dans le référentiel astrocentrique, supposé galiléen.

Donnée : G = 6,67 × 10^-11 N·m²·kg^-2

La période de révolution de ce satellite vaut :

$T = 3,7 × 10^{8} s$